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通过气味找到Diophantine方程的解

是的-闻到。Diophantine方程只是多项式方程,其整数和解只使用整数。它们很难解决,而且常常很重要。

蚂蚁

我们知道,没有通用的解决方案-1970年Matiyasevich证明了这一点,他也表明,希尔伯特的第十个问题没有解决方案。

例如,找到满足以下条件的整数a,b和c:

a2 + b2- c2 = 0

在这种情况下,a,b和c只是勾股三元组,如3、4、5,即直角三角形的边。同样众所周知的是,相同的方程式(但具有大于2的幂)没有任何解,因为这是费马的最后一个定理,Wiles在1994年证明了这一定理。

由于解空间由一组离散的整数组成,因此尝试使用一些AI搜索技术来求解通用方程似乎很明显,并且人们尝试了遗传算法之类的事情,该算法将潜在的解决方案表示为基因,并通过选择育种来培育新的解决方案根据健身对。

现在,我们有了孟买大学团队的另一种方法-蚁群优化算法。这是通过允许“蚂蚁”探索解决方案空间并留下信息素线索让其他人跟随而起作用的。这个想法是,信息素是根据蚂蚁位置的优劣而沉积的,并且它也会蒸发以允许搜索新的空间区域。

寻找Diophantine解决方案的不同之处在于,您可能拥有一组接近解决方案的整数,但是相邻的整数解决方案过冲或下冲,因此不提供解决方案。那在搜索空间中一些看似好的位置实际上是非常糟糕的。

在这种情况下,蚂蚁在m维网格上随机初始位置的搜索空间中处于松散状态-其中m是未知数。位置的质量取决于求解方程式的接近程度。这用于为蚂蚁提供一定数量的信息素,并将其随机分布在相邻位置之间。随着时间的流逝,使用模拟蒸发的定律信息素浓度降低。当然,蚂蚁会向信息素浓度方向移动。

令人惊讶的是,此过程不仅有效,而且似乎比遗传算法更好-有时甚至很多。

蚂蚁

那么,寻找使蚁群优化工作有效的整数解又有什么用呢?这可能是一个简单的事实,在一个解附近有很多非常好的近似解-考虑将解中的m个变量之一更改为1。这使问题更适合于这种离散的“爬山”方法。

无论出于何种原因,我都怀疑许多数学家会认为在这种意义上“闻”解决方案会带来很多美感或优雅。

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