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量子物理学是无法确定的

据称在现实世界中有许多可计算性应用,但是其中大多数是理论上的,不适用于我们可能遇到的情况。现在我们得到的结果证明,量子力学中一个非常简单的问题是无法确定的。

不确定性的问题在于,总是有一个或两个无限大的包裹。例如,解决暂停问题-您不能编写一个程序来决定是否有其他程序最终永远停止或循环。这样的证明表明,如果您拥有这样的程序,则可以轻松地构造一个悖论,因此这样的程序将不存在。

停止问题的结果通常被误用于现实世界,以证明某些东西是未知的或无法计算的,但是并未考虑程序必须无界的小问题,例如参见用于证明机器人的停止问题无法计算地杀死人类。

如果您可以限制要尝试确定暂停问题的程序的大小,则可以编写一个程序来确定程序是否暂停并且无法构造悖论。

简而言之,不确定性需要在某处无限。

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自然界最近发表的一篇论文,托比·S·库比特(Toby S. Cubitt),戴维·佩雷斯·加西亚(David Perez-Garcia),迈克尔·M·沃尔夫(Michael M. Wolf)的《光谱间隙的不确定性》引起了一些激动,因为它证明了一个简单的量子问题是不确定性的。

光谱间隙是基态和第一激发态之间的能量差。根据定义,您可能会认为基态和激发态这两个术语暗示存在能量差,但没有。光谱间隙问题仅是确定是否存在间隙。当然,实际系统中的间隙可能很小,实际上没有间隙,但这是一个数学问题,答案必须精确。

如果您了解某些量子力学,您将了解这里需要确定系统哈密顿量的最低特征值对。因此,该理论最抽象的是线性代数。

该论文声称要证明的是:

“尽管在特定情况下也许能够解决谱隙问题,但我们的结果表明,从逻辑上讲,通常无法确定多体量子系统是有间隙的还是无间隙的。”

更准确地说:

1.频谱间隙问题在算法上无法确定:在给定哈密顿量局部相互作用的矩阵元素的情况下,不能存在任何确定结果模型是否有间隙的过程。这与无法确定停止问题的意义完全相同。

2.谱隙问题在公理上是独立的:给定数学上任何一致的公理化,都存在量子多体哈密顿量,对于它们,谱隙的存在与否不是由数学公理确定的。这是Godel不完全性定理中遇到的不确定性形式。

这些令人震惊的结果暗示着数学在描述世界的方式上受到限制。这意味着您可以精确地指定一些系统,这些系统不能说是使用数学还是不使用数学。

该定理是使用比完全普通的哈密顿量更简单的系统证明的-一组形成LxL网格的粒子通过其自旋相互作用。假定矩阵的元素是代数数-即多项式的简单根,以确保矩阵从一开始就不可算。

一切都非常合理,但是您可能会问无限性在哪里出现?

简单的答案是,正在询问有关允许L达到无穷大的系统的问题。

也就是说,如果有限L的系统集趋向于L->∞的极限,则该系统是有间隙的。

实际使用的定义比这更微妙和精确,但这是无穷大的体现。

因此,我们得到的结果是,对于具有无限数量粒子的系统,光谱间隙问题是无法确定的。

当然,任何实际系统都有很多粒子,但没有无限数量的粒子,因此这是可以确定的。

这是有用且重要的结果吗?

可能因为无穷大的推理是数学逻辑的一部分,这个结果告诉我们,通过考虑无穷大的极限来尝试对实际系统进行推理可能根本没有用。

该论文的作者指出了这一点,并进一步讨论了不确定性可能在有限模型中产生的哪种行为:

“随着系统规模的扩大,哈密顿量最初看起来将完全像一个无间隙的系统,低能谱似乎会收敛到一个连续体。但是在某个阈值的晶格尺寸下,恒定的光谱间隙会突然出现。”

和:

“不仅系统从无间隙切换到间隙的晶格大小任意大,而且发生这种转变的阈值也无可争议”

这增加了量子系统发现另一种怪异方法的可能性:

“这意味着我们永远无法知道该系统是否真正无间隙,或者增加晶格大小(甚至仅增加一个晶格位点)是否会揭示出该缺陷。”

听起来对我的初始条件敏感,也就是混沌理论。

如果只是想了解平铺如何将证明作为物理与图灵机之间的链接而进入证明,请阅读该论文。

物理无法确定

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